В чем разница между поточечной и равномерной сходимостью функций?

Разница между поточечной и равномерной сходимостью функций заключается в том, что при поточечной сходимости скорость сходимости может существенно зависеть от точки, а при равномерной — не зависит. 4

Поточечная сходимость означает, что для каждого значения в домене последовательность действительных чисел сходится к определённой функции. 1 При этом для каждой точке потенциально может быть разное натуральное число, которое характеризует скорость сходимости. 1

Равномерная сходимость предполагает, что сразу во всех точках множества элементы функциональной последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно мало отличаются от предельной функции. 2 При равномерной сходимости натуральное число, которое характеризует скорость сходимости, не зависит от точки. 14

Таким образом, равномерная сходимость — более сильный вид сходимости, чем поточечная: если функциональная последовательность сходится равномерно, то она также сходится и поточечно, но не наоборот. 5