Почему ограниченность последовательности не всегда означает ее сходимость?

Ограниченность последовательности не всегда означает её сходимость, потому что при этом не обязательно выполняется необходимое условие сходимости. otvet.mail.ru

Например, ряд -1,+1,-1, +1 и sin n ограничен от -1 до +1, но к нулю не стремится и уже поэтому не сходится (в основном смысле). otvet.mail.ru

Однако каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. math.stackexchange.com Другими словами, можно выделить некоторые члены последовательности, которые становятся всё ближе и ближе друг к другу (даже если они не становятся ближе ко всем членам исходной последовательности). math.stackexchange.com

Также стоит отметить, что каждая монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. math.stackexchange.com