Ограниченность последовательности не всегда означает её сходимость, потому что при этом не обязательно выполняется необходимое условие сходимости. 2

Например, ряд -1,+1,-1, +1 и sin n ограничен от -1 до +1, но к нулю не стремится и уже поэтому не сходится (в основном смысле). 2

Однако каждая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. 1 Другими словами, можно выделить некоторые члены последовательности, которые становятся всё ближе и ближе друг к другу (даже если они не становятся ближе ко всем членам исходной последовательности). 1

Также стоит отметить, что каждая монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена. 1