Равенство строчного и столбцового рангов матрицы влияет на совместные и определённые системы линейных уравнений следующим образом:

• Совместность системы. 24 Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы. 24
• Единственность решения. 2 Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы и равен числу переменных. 2

Таким образом, если строчный и столбцовый ранги матрицы равны, то система линейных уравнений будет совместной и определённой: она имеет хотя бы одно решение и единственное решение соответственно. 12

При этом строчный и столбцовый ранги произвольной матрицы совпадают. 1