Вывод формул двойного угла из основных тригонометрических тождеств происходит следующим образом: 3

1. Для синуса двойного угла используется формула синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. 3 В этой формуле полагают β = α: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α, то есть sin 2α = 2 sin α cos α. 3
2. Для косинуса двойного угла исходят из формулы косинуса суммы: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. 3 В этой формуле полагают β = α: cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α, то есть cos 2α = cos2 α − sin2 α. 3

Это первая формула косинуса двойного угла. 3 Ещё две получаются из неё с помощью основного тригонометрического тождества. 3 Так, согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: cos2 α = 1 − sin2 α. 3 Подставляя это в первую формулу, получим: cos 2α = 1 − 2 sin2 α. 3 С другой стороны, имеем также: sin2 α = 1 − cos2 α. 3 Подставляем это в первую формулу: cos 2α = 2 cos2 α − 1. 3

Таким образом, с помощью основного тригонометрического тождества можно получить ещё несколько формул для косинуса двойного угла. 13