Как происходит вывод формул двойного угла из основных тригонометрических тождеств?

Вывод формул двойного угла из основных тригонометрических тождеств происходит следующим образом: mathus.ru

1. Для синуса двойного угла используется формула синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. mathus.ru В этой формуле полагают β = α: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α, то есть sin 2α = 2 sin α cos α. mathus.ru
2. Для косинуса двойного угла исходят из формулы косинуса суммы: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. mathus.ru В этой формуле полагают β = α: cos(α + α) = cos α cos α − sin α sin α, то есть cos 2α = cos2 α − sin2 α. mathus.ru

Это первая формула косинуса двойного угла. mathus.ru Ещё две получаются из неё с помощью основного тригонометрического тождества. mathus.ru Так, согласно основному тригонометрическому тождеству имеем: cos2 α = 1 − sin2 α. mathus.ru Подставляя это в первую формулу, получим: cos 2α = 1 − 2 sin2 α. mathus.ru С другой стороны, имеем также: sin2 α = 1 − cos2 α. mathus.ru Подставляем это в первую формулу: cos 2α = 2 cos2 α − 1. mathus.ru

Таким образом, с помощью основного тригонометрического тождества можно получить ещё несколько формул для косинуса двойного угла. foxford.ru mathus.ru