Метод Ньютона-Рафсона — численный метод, который используется для решения систем нелинейных уравнений. 1 Он предполагает поиск решений путём итеративного уточнения первоначальных предположений в направлении истинных решений. 1

Процедура решения включает следующие шаги: 2

1. Выбор начального приближения, система приводится к нормальному виду, в аналитическом виде находятся частные производные левых частей уравнений системы по всем переменным. 2
2. Расчёт матрицы Якоби значений частных производных в точке начального приближения. 2
3. Решение системы линейных уравнений относительно приращений переменных. 2
4. К вектору начального приближения прибавляется вектор приращений. 2
5. Проверка условия сходимости и, если оно не достигнуто, то процедура повторяется с пункта 2. 2

Математическая основа метода — линеаризация функций (левых частей уравнений, образующих систему) путём разложения в ряд Тейлора в окрестности точки начального приближения к решению и пренебрежением всеми членами ряда, кроме линейных относительно приращений переменных. 2

Метод Ньютона-Рафсона находит широкое применение в различных областях, включая инженерное проектирование, оптимизацию и научное моделирование. 1