В чем заключаются основные принципы работы алгоритма Бухбергера для построения базисов Гребнера?

Алгоритм Бухбергера — метод преобразования набора многочленов в базис Гребнера, который более удобен для извлечения информации по общим нулям. en.wikipedia.org

Один из принципов работы алгоритма заключается в том, что пока множество полиномов, заданное изначально, не является базисом Гребнера, нужно добавлять в него S-полиномы каждой пары полиномов. cyberleninka.ru Предварительно эти S-полиномы редуцируют по всему множеству полиномов. cyberleninka.ru

Алгоритм выполняется по следующему алгоритму: en.wikipedia.org

1. Вводят набор многочленов, который генерирует идеал. en.wikipedia.org
2. Выводят базис Гребнера. en.wikipedia.org
3. Для каждого полинома в базисе обозначают через gi старший член полинома относительно данного одночленного порядка, а через aij — наименьшее общее кратное из gi и gj. en.wikipedia.org
4. Выбирают два многочлена в базисе и строят S-полином. en.wikipedia.org mech.math.msu.su
5. Уменьшают S-полином с помощью алгоритма многомерного деления относительно множества базиса до тех пор, пока результат не станет непригодным для дальнейшего уменьшения. en.wikipedia.org
6. Если результат отличен от нуля, добавляют его к базису. en.wikipedia.org
7. Повторяют шаги 2–4 до тех пор, пока не будут рассмотрены все возможные пары, включая те, которые включают новые многочлены, добавленные на шаге 4. en.wikipedia.org

Алгоритм завершается, потому что он последовательно увеличивает размер одночленного идеала, порождаемого старшими членами множества, а лемма Диксона (или теорема о базисе Гильберта) гарантирует, что любая такая восходящая цепочка должна в конечном итоге стать постоянной. en.wikipedia.org