Алгоритм Бухбергера — метод преобразования набора многочленов в базис Гребнера, который более удобен для извлечения информации по общим нулям. 1

Один из принципов работы алгоритма заключается в том, что пока множество полиномов, заданное изначально, не является базисом Гребнера, нужно добавлять в него S-полиномы каждой пары полиномов. 2 Предварительно эти S-полиномы редуцируют по всему множеству полиномов. 2

Алгоритм выполняется по следующему алгоритму: 1

1. Вводят набор многочленов, который генерирует идеал. 1
2. Выводят базис Гребнера. 1
3. Для каждого полинома в базисе обозначают через gi старший член полинома относительно данного одночленного порядка, а через aij — наименьшее общее кратное из gi и gj. 1
4. Выбирают два многочлена в базисе и строят S-полином. 13
5. Уменьшают S-полином с помощью алгоритма многомерного деления относительно множества базиса до тех пор, пока результат не станет непригодным для дальнейшего уменьшения. 1
6. Если результат отличен от нуля, добавляют его к базису. 1
7. Повторяют шаги 2–4 до тех пор, пока не будут рассмотрены все возможные пары, включая те, которые включают новые многочлены, добавленные на шаге 4. 1

Алгоритм завершается, потому что он последовательно увеличивает размер одночленного идеала, порождаемого старшими членами множества, а лемма Диксона (или теорема о базисе Гильберта) гарантирует, что любая такая восходящая цепочка должна в конечном итоге стать постоянной. 1