В чем заключается геометрический смысл определителя?

Геометрический смысл определителя заключается в том, что он показывает, насколько «растягивается» или «сжимается» пространство после преобразования матрицей. www.work5.ru ru.wikipedia.org

Например, определитель матрицы 1×1 даёт длину вектора, 2×2 — площадь параллелограмма, 3×3 — объём параллелепипеда, а n×n — объём n-мерного параллелепипеда. mathematics-repetition.com

Также определитель указывает на сохранение или изменение ориентации пространства: education.yandex.ru

• Положительный определитель показывает, что ориентация параллелограмма (и, соответственно, преобразования) сохраняется. www.work5.ru
• Отрицательный определитель указывает на инверсию ориентации — параллелограмм повёрнут, и преобразование меняет направление. www.work5.ru