Существует только пять правильных многогранников, потому что выполняются определённые условия. 13

Согласно определению правильного многогранника, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. 2

Некоторые ограничения:

• Если грани четырёхугольные, то их не может сойтись в одной вершине больше трёх, иначе сумма углов будет больше или равна 360°. 1
• То же самое касается и пятиугольников: их может сойтись только три. 1
• Если грани треугольные, то их не может сойтись больше пяти: шесть правильных треугольников тоже будут лежать в одной плоскости. 1

Таким образом, возможными вариантами являются треугольники, сходящиеся по 3, 4 и 5, а также квадраты и пятиугольники, сходящиеся по 3. 1 Эти пять вариантов и реализованы в пяти известных правильных многогранниках. 1

К ним относятся: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. 2