В неевклидовых геометриях сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180 градусов, потому что свойства треугольников отличаются от свойств в евклидовой геометрии. 2

На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180 градусов, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника. 1 У сферического треугольника могут быть два или даже три прямых или тупых угла. 1

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов и может быть сколь угодно малой. 12 Разность также пропорциональна площади треугольника. 1

Таким образом, равенство суммы углов треугольника 180° является одним из основных признаков именно евклидовой геометрии, отличающих её от неевклидовых, в которых аксиома параллельности не выполняется. 1