Почему некоторые полиномы не имеют вещественных корней?

Некоторые полиномы не имеют вещественных корней по разным причинам, например:

• Степень полинома чётная. cx53922.tmweb.ru В таком случае полином либо не имеет вещественных корней, либо число этих корней чётное (с учётом кратностей кратных корней). cx53922.tmweb.ru
• В полиноме есть пробел в коэффициентах. math.stackexchange.com В таком случае многочлен не может иметь все действительные корни. math.stackexchange.com
• Поле R не является алгебраически замкнутым. www.uic.unn.ru Например, многочлен x² + 1 не имеет вещественных корней. www.uic.unn.ru
• В какой-то момент были две последовательные производные, равные нулю. math.stackexchange.com В таком случае многочлен не может иметь все действительные корни. math.stackexchange.com

Также есть утверждение, что с увеличением степени полинома статистически всё меньшее количество его корней будут вещественными. habr.com