Некоторые следствия первого замечательного предела:

• предел отношения тангенса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю; 4
• предел отношения арксинуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю; 4
• предел отношения котангенса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю; 4
• предел отношения 1-го косинуса к квадрату аргумента равен единице. 4

Эти следствия можно применять, когда при вычислении предела возникает неопределённость «нуль делить на нуль» и сочетание синуса и его аргумента даёт подсказку об использовании первого замечательного предела. 3 Важно, чтобы переменная в тригонометрической функции стремилась к нулю. 2

Указанные следствия достаточно легко доказать, применив правило Лопиталя или замену бесконечно малых функций. 3