Какие интересные задачи связаны с вписанными окружностями в треугольниках?

Несколько интересных задач, связанных с вписанными окружностями в треугольниках:

• Задача о точке D на стороне АВ треугольника АВС. math.mosolymp.ru В каждый из треугольников ADC и BDC вписана окружность, которая касается отрезка CD в точках Е и F. math.mosolymp.ru Нужно найти ЕF, если ВС = а, АС = b, AD = x, BD = y. math.mosolymp.ru
• Задача о точке O и I. math.mosolymp.ru Точки O и I — центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. math.mosolymp.ru Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно, а также касаются друг друга в точке K. math.mosolymp.ru Нужно найти угол BAC. math.mosolymp.ru
• Задача о точке D на стороне ВС треугольника АВС. math.mosolymp.ru Выбрана точка D так, что равны радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВD и ACD. math.mosolymp.ru Нужно доказать, что равны радиусы вневписанных окружностей этих треугольников, касающихся сторон BD и CD соответственно. math.mosolymp.ru
• Задача о точке D на гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС. math.mosolymp.ru www.geometry.ru Точка выбрана так, что окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, имеют равные радиусы. math.mosolymp.ru www.geometry.ru Нужно доказать, что S ABC = CD². math.mosolymp.ru www.geometry.ru
• Задача о медиане АМ в треугольнике АВС. math.mosolymp.ru Точки I1 и I2 — центры окружностей, вписанных в треугольники АВМ и АСМ, N — середина дуги ВС (содержащей вершину А). math.mosolymp.ru Нужно доказать, что точки А, N, I1 и I2 лежат на одной окружности. math.mosolymp.ru