Риманова метрика применяется в современных наукоёмких отраслях следующим образом:

• В физике метрика Римана используется для описания искривлённого пространства, где пространство не обязательно линейно и может иметь кривизну. 1 Например, в контексте теории струн и общей теории относительности. 1 В теории Эйнштейна метрический тензор римановой геометрии описывает не только кривизну пространственно-временного континуума, но и гравитационное поле. 5
• В топологии риманова геометрия используется для анализа данных, находящихся на изогнутых многообразиях. 2 Многообразия — это пространства, которые локально напоминают евклидово пространство, но могут иметь глобальную кривизну. 2 Оборудуя эти многообразия римановой метрикой, исследователи могут определить расстояния и углы, что позволяет измерять и анализировать данные. 2
• В машинном обучении риманова метрика используется для моделирования данных в соответствии с лежащим в их основе римановым многообразием. 6 Этот подход применяется в различных областях, от причинно-следственного вывода и оптимального переноса до генеративного моделирования и обучения репрезентациям. 6

Таким образом, риманова метрика позволяет работать с данными, которые имеют сложные геометрические, топологические и алгебраические структуры, что важно для таких областей, как нейронаука, физика и передовое компьютерное зрение. 2