Как применение римановых метрик влияет на геометрические свойства поверхностей?

Применение римановых метрик позволяет изучать внутреннюю геометрию поверхностей, которая, будучи евклидовой в малых областях, в целом не является евклидовой и, как правило, неоднородна по своим геометрическим свойствам. bigenc.ru dic.academic.ru

Например, любая гладкая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве представляет собой риманово многообразие с римановой метрикой, определяемой тем, как она расположена внутри окружающего пространства. en.wikipedia.org

Для извлечения геометрических данных из римановой метрики используются методы дифференциального и интегрального исчисления. en.wikipedia.org Так, интегрирование приводит к римановой функции расстояния, а дифференцирование используется для определения кривизны и параллельного переноса. en.wikipedia.org