Как работает алгоритм Эйлера для вычисления обратного элемента в кольце по модулю?

Алгоритм Эйлера для вычисления обратного элемента в кольце по модулю основан на теореме Эйлера, которая верна для случая взаимно простых чисел. e-maxx.ru sites.google.com

Согласно этой теореме, для любого модуля m и целого числа a, взаимно простого с m, справедливо сравнение aϕ(m) ≡ 1mod m. fafm-13.ucoz.ru

Далее из этого уравнения получают формулы для вычисления обратного элемента: e-maxx.ru

• для любого модуля: a^(ϕ(m) − 1) ≡ a−1 mod m; e-maxx.ru sites.google.com
• для простого модуля: a^(m − 2) ≡ a−1 mod m. e-maxx.ru sites.google.com

Для практического применения обычно используют эффективный алгоритм бинарного возведения в степень. e-maxx.ru

Однако этот метод требует знания значения функции Эйлера, что иногда может оказаться сложной задачей. e-maxx.ru