Как определить область значений дробных математических функций?

Чтобы определить область значений дробной математической функции, можно использовать графический или аналитический (по уравнению) способы. wika.tutoronline.ru

Графический способ: wika.tutoronline.ru

1. Найти область определения функции. wika.tutoronline.ru Если выражение дробное, то область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. wika.tutoronline.ru
2. Построить график функции по точкам. wika.tutoronline.ru Можно воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. ru.wikihow.com
3. Найти минимум функции. wika.tutoronline.ru ru.wikihow.com Значение минимума будет являться нижней границей области значений. wika.tutoronline.ru Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. wika.tutoronline.ru
4. Определить максимум функции. wika.tutoronline.ru ru.wikihow.com Аналогично максимуму определяется верхняя граница области значений. wika.tutoronline.ru Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. wika.tutoronline.ru
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. wika.tutoronline.ru Точки разрыва возникают, например, при исключении из области определения таких значений аргументов, при которых знаменатель обращается в ноль. wika.tutoronline.ru

Аналитический способ (по уравнению): wika.tutoronline.ru

1. Найти производную функции. wika.tutoronline.ru
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения и точки, в которых производная не существует — критические точки. wika.tutoronline.ru
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. wika.tutoronline.ru
4. Найти минимумы и максимумы функции. wika.tutoronline.ru Если в некоторой точке производная меняет знак с «+» на «-», то точка — максимум, если с «-» на «+» — минимум. wika.tutoronline.ru
5. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. wika.tutoronline.ru
6. Записать область значений функции. wika.tutoronline.ru

Область значений записывают в виде числового промежутка. wika.tutoronline.ru Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. wika.tutoronline.ru Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U». wika.tutoronline.ru