Чтобы найти область сходимости степенного ряда, нужно определить его радиус сходимости R и исследовать сходимость ряда на границах интервала сходимости (при x=±R). 1
Возможны следующие случаи: 2
Ряд сходится только при х = 0. 2 Область сходимости состоит из одной точки х = 0, R = 0. 2
Ряд не имеет точек расходимости. 2 Область сходимости совпадает со всей числовой прямой (-¥;+¥), R = +¥. 2
Ряд имеет как отличные от нуля точки сходимости, так и точки расходимости. 2 В зависимости от данного ряда область сходимости является одним из промежутков (-R;R), [-R;R], (-R;R], [-R;R]. 2
Также область сходимости степенного ряда может быть детализацией интервала сходимости: 4
Ряд расходится на обоих концах интервала. 4 Область сходимости ряда совпадает с интервалом сходимости. 4
Ряд сходится на одном конце интервала и расходится на другом. 4 Область сходимости ряда представляет собой полуинтервал. 4
Ряд сходится абсолютно при любом значении. 4 Интервал сходимости и область сходимости в данном случае совпадают. 4