Чем отличается апеллирование от апелляции?

Возможно, имелись в виду термины «апеллирование» и «апелляция».

Апеллирование имеет несколько значений:

• Обращение к кому-либо за поддержкой, советом и т. п.. kartaslov.ru Например: «апеллирование к политическим реалиям», «апеллирование к социологическим рейтингам». gramota.ru
• Жалоба в высшую инстанцию на решение низшей инстанции. sanstv.ru kartaslov.ru

Апелляция в юриспруденции — процедура по проверке не вступивших в законную силу судебных актов вышестоящим судом, определённая процессуальным законодательством. ru.ruwiki.ru При апелляции пересматривается решение суда не по отдельным процессуальным вопросам, а по существу всего дела в целом. ru.ruwiki.ru

Таким образом, апеллирование может иметь разные значения, в то время как апелляция имеет определённое юридическое значение.