В чем заключается отличие аналитических функций в вещественной и комплексной областях?

Некоторые отличия аналитических функций в вещественной и комплексной областях:

• Область определения. en.wikipedia.org Вещественные аналитические функции определены на подмножестве действительной прямой, комплексные — на комплексной плоскости. en.wikipedia.org
• Дифференцируемость. en.wikipedia.org Функции каждого типа бесконечно дифференцируемы, но комплексные аналитические функции обладают свойствами, которые обычно не присущи вещественным аналитическим функциям. en.wikipedia.org Например, согласно теореме Лиувилля, любая ограниченная комплексная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости, является постоянной. en.wikipedia.org Для вещественных аналитических функций это утверждение неверно. en.wikipedia.org
• Аналитичность по переменным. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Для функции от нескольких действительных переменных аналитичности по каждой из переменных недостаточно для аналитичности функции. ru.wikipedia.org В комплексном случае, по теореме Хартогса, из аналитичности по каждой переменной в отдельности следует аналитичность в целом. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org
• Аналитическое продолжение. ru.ruwiki.ru В вещественном анализе разные аналитические продолжения не могут дать разных значений в одной точке, через какие бы области их ни продолжали. ru.ruwiki.ru В комплексном анализе аналитическое продолжение может давать разные значения при аналитическом продолжении по разным путям, из-за чего возникают такие конструкции, как многозначные аналитические функции. ru.ruwiki.ru