Разница между гладкой и аналитической функцией заключается в их свойствах:

• Гладкая функция — это бесконечно дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков. 1 Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. 1
• Аналитическая функция — это функция, которая имеет производную всюду в некоторой окрестности определённой точки или в каждой точке определённой области. 4 Также аналитическая функция может быть разложена в сходящийся ряд Тейлора. 5

Таким образом, основное отличие в том, что гладкая функция имеет производные, а аналитическая — ещё и производную в определённой области или в её окрестности. 14