Разница между фразовыми глаголами stay, remain и hold out заключается в их значениях:

1. Stay описывает процесс, когда кто-то где-то остаётся. 3 Например, stay in — не выходить, оставаться дома, stay over — оставаться на ночь. 10
2. Remain означает оставаться, пребывать, сохраняться в каком-либо состоянии. 16 Например, remain silent — хранить молчание, remain unchanged — оставаться прежним, оставаться без изменений. 6
3. Hold out переводится как «протянуть», «продержаться». 7 Также может означать «иметь, питать (надежду)», «выдерживать, терпеть», «хватать». 2