Разница между фразовыми глаголами carry on и continue заключается в их значении:

• Carry on означает «продолжать» в смысле деятельности, возобновлять начатое после перерыва или паузы. 23 Например: «Let’s carry on this discussion at some other time» — «Давайте продолжим это обсуждение в другое время». 2
• Continue означает «продолжать» в смысле действия, делать начатое дальше, не останавливаясь и не прекращая. 12 Например: «I told him to stop, but he continued to dig» — «Я сказала ему остановиться, но он продолжал копать». 1

Таким образом, carry on используется для указания на возобновление начатого после перерыва, а continue — для выражения непрерывности действия. 5