Разница между формальными и неформальными математическими выражениями заключается в следующем:

• Формальные выражения записываются с помощью особой символики в виде формул и манипулируются по строго очерченным правилам. 4 Символы в таких выражениях трактуются как значки, с которыми обращаются согласно определённым правилам, зависящим лишь от формы выражений, образованных из символов. 3
• Неформальные выражения наполнены теоретико-множественным содержанием, понятие выводимости в них довольно расплывчато и в значительной мере опирается на здравый смысл. 4 В неформальных аксиоматических теориях изучаются формальные объекты (числа, точки, прямые, множества и т. п.), однако при применении логических правил вывода рассуждают содержательно, а не формально. 3