Знание свойств определителей важно при решении систем линейных уравнений, потому что они позволяют использовать правило Крамера для нахождения решения таких систем. 34

Согласно этому правилу, каждая неизвестная, входящая в систему уравнений, равна отношению двух определителей. 3 При этом если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. 2 Если же определитель равен нулю, то возможны два случая: система либо несовместная, либо имеет бесконечное множество решений. 4

Некоторые свойства определителей, которые помогают в решении систем линейных уравнений:

• При замене строк на столбцы определитель не меняется. 2 Это означает, что строки и столбцы равноправны, и любые свойства или утверждения относительно строк справедливы и для столбцов, и наоборот. 2
• При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный. 2
• Определитель с двумя равными строками равен нулю. 2
• Общий множитель элементов строки можно выносить за знак определителя. 12
• Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой строки, умноженные на произвольное одинаковое число. 1