Нет, слово «аптечка» не произошло от латинского корня «apte».

Слово «аптечка» (корень — «аптеч-») — уменьшительно-ласкательное к слову «аптека», которое, в свою очередь, происходит от древнегреческого «ἀποθήκη», означающего «склад, кладовая». 4

В Древней Греции каждый врач имел свои запасы лекарственного сырья, которые хранились в специально отведённом для этого месте, которое называлось «apoteca» — «кладовая, амбар». 3