Почему некоторые функции невозможно интегрировать в элементарной форме?

Некоторые функции невозможно интегрировать в элементарной форме из-за того, что набор элементарных функций не замкнут. math.stackexchange.com

Существуют функции, антипроизводная которых не может быть выражена комбинацией элементарных функций. math.stackexchange.com К ним относятся, например: константы, степени, экспоненты, логарифмы, тригонометрические функции и арифметические операции. math.stackexchange.com

Также есть функции, которые прерывистые, и для нахождения их интеграла требуется, чтобы функция была непрерывной. math.stackexchange.com Если функция прерывистая, то для некоторых значений переменной значение функции не определено, и это мешает найти интеграл. math.stackexchange.com

Для нахождения интегралов от подобных функций применяют приближённые методы, в которых подынтегральная функция заменяется «близкой» к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции. kpfu.ru