Почему мухоловка-пересмешник получила такое название?

Возможно, имелась в виду птица-пересмешник в целом, а не мухоловка-пересмешник.

Название «пересмешник» дано птицам, которые обладают способностью подражать чужому голосу, запоминая услышанные звуки и включая их в своё пение. dzen.ru otvet.mail.ru

Мухоловка же получила своё название из-за характера охоты: птица охотится на разных насекомых, но предпочтение отдаёт мухам, при этом ловит их на лету. vk.com www.belpressa.ru