Какие существуют доказательства теоремы Лагранжа о сумме четырёх квадратов?

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Некоторые варианты доказательств теоремы:

• Доказательство Лагранжа. www.ai-futureschool.com Французский математик Жозеф-Луи Лагранж доказал теорему в 1770 году, используя метод математической индукции. www.ai-futureschool.com Он показал, что для любого положительного целого числа n существует такая комбинация целых чисел a, b, c и d, что n = a² + b² + c² + d². www.ai-futureschool.com
• Лемма Эйлера. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Эйлер доказал важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org
• Конструктивное доказательство. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Существует алгоритм, который позволяет находить представление числа в виде суммы четырёх квадратов с помощью определённого количества арифметических операций. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org
• Вариант с использованием алгебраических свойств кватернионов. ru.ruwiki.ru

Кроме того, Чжи-Вэй Сун доказал, что каждое натуральное число может быть записано как сумма четырёх квадратов с некоторыми требованиями к выбору этих четырёх чисел. en.wikipedia.org