Для решения олимпиадных задач на среднее арифметическое можно использовать следующие математические приёмы:

• Рассуждения о наибольшем числе. 12 Например, если по кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей, то можно рассмотреть наибольшее из записанных чисел (или одно из них, если таких чисел несколько). 12 Из того, что оно не меньше своих соседей и равно их среднему арифметическому, следует, что оно равно своим соседям. 12 Проводя аналогичные рассуждения, можно получить, что все числа равны. 12
• Работа с суммами чисел. 3 Во многих задачах удобнее работать с суммами чисел, чем со средними арифметическими. 3 При этом сумма чисел равна произведению их количества и их среднего арифметического. 3
• Использование фактов о среднем арифметическом арифметической прогрессии. 3 Любой член произвольной арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов. 3
• Применение формул сокращённого умножения. 5 Это один из простых способов разложения алгебраического выражения на множители. 5