Как вычисляют количество простых чисел до очень больших значений?

Для вычисления количества простых чисел до очень больших значений используют различные алгоритмы, в зависимости от поставленной задачи. habr.com

Некоторые из них:

• Решето Эратосфена. tproger.ru Один из древних и известных алгоритмов. tproger.ru Чтобы найти простые числа до N, создают список чисел от 2 до N и помечают как составные все числа, кратные 2 (4, 6, 8 и т. д.). tproger.ru Затем переходят к 3 и вычёркивают все числа, кратные ему. tproger.ru Повторяют этот процесс со всеми числами из списка до N. tproger.ru
• Решето Сундарама. tproger.ru Создают список чисел от 1 до (N–1)/2, исключают числа типа i + j + 2ij, где i и j — натуральные числа, и i <= j. tproger.ru Оставшиеся числа умножают на 2 и увеличивают на 1 — так получают простые числа. tproger.ru
• Решето Аткина. tproger.ru Современный алгоритм, который использует более сложные математические концепции. tproger.ru Создают список чисел от 1 до N, используют квадратичные формы, чтобы предварительно отсеять составные числа. tproger.ru Затем составные числа просеивают финально для полного исключения. tproger.ru

Также для поиска простых чисел используют тест простоты Ферма, тест Миллера-Рабина и другие методы. habr.com

Однако, по теореме Евклида, количество простых чисел бесконечно. yandex.ru