Как контрпримеры применяются в доказательстве математических утверждений?

Контрпримеры применяются в доказательстве математических утверждений для опровержения их верности. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется». ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Некоторые способы применения контрпримеров:

• Демонстрация ограниченности действия определения или правила. cyberleninka.ru Например, рассмотрение функции Вейерштрасса, которая является непрерывной, но не дифференцируемой. cyberleninka.ru
• Опровержение конкретного ошибочного утверждения. cyberleninka.ru Это может происходить, например, при отбрасывании отдельных предположений исходного утверждения или его обращении. cyberleninka.ru
• Показ достаточности или необходимости условий и предположений в утверждении. cyberleninka.ru

Пример применения контрпримеров: утверждение «При умножении любого числа на само себя результат будет чётным». dzen.ru Если умножить 4 на 4, то будет 16, но если умножить 7 на 7, то получится 49 — это контрпример. dzen.ru

Важно помнить, что отсутствие контрпримера не служит доказательством гипотезы. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Доказательство возможно, только если рассматриваемое множество конечно: в этом случае достаточно перебрать все его элементы, и, если контрпримера среди них нет, то утверждение будет доказано. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org