Квадратные матрицы используются в системах уравнений для матричного метода решения. 1 Он применяется в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных. 1

Другое условие применимости матричного метода — невырождённость матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы. 1

Систему линейных уравнений при выполнении этих условий можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы. 1 Для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных, и приравнять соответствующие элементы полученных матриц. 1

Также квадратные матрицы используются в задачах, связанных с собственными значениями и векторами, когда рассматривается матричное уравнение с квадратной матрицей и матрицей-столбцом X, высота которой совпадает с порядком матрицы A. 5