В чем разница между полупрямой и незамкнутым лучом в математике?

Возможно, имелись в виду понятия «полупрямая» и «луч» в геометрии. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Полупрямая (открытый луч) — это множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой на этой прямой. ru.wikipedia.org Другими словами, полупрямая — одна из двух частей прямой, на которые делится прямая её произвольной точкой. ru.wikipedia.org

Луч (замкнутый луч, замкнутая полупрямая) — это полупрямая со своей границей. ru.wikipedia.org Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча. ru.wikipedia.org Луч выходит из этой точки. ru.wikipedia.org

Таким образом, разница между полупрямой и лучом в том, что в первом случае речь идёт о части прямой без границы, а во втором — о части прямой со своей границей.