Разница между any и anything в отрицательных предложениях заключается в их значении:

• Any в отрицательных предложениях соответствует словам «ничто», «никто», «ни один». 1 Пример: «I have not seen any of them» — Я никого из них не видел. 1
• Anything в отрицательных предложениях соответствует слову «ничего». 12 Пример: «They didn’t say anything» — Они ничего не сказали. 1

Таким образом, any в отрицательных предложениях выражает отрицание в отношении конкретного объекта, а anything — в отношении общего понятия «ничего» в целом.

Выбор между этими местоимениями зависит от конкретного контекста и желаемого выражения отрицания.