Да, в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает её полнота. 5

Если вектор ортогонален всем векторам замкнутой системы, то в силу уравнения замкнутости норма такого вектора равна нулю, а следовательно, и сам вектор равен нулю. 2

Из полноты ортонормированной системы в произвольном евклидовом пространстве, вообще говоря, не вытекает её замкнутость. 5

Однако для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна её замкнутости. 5

Также можно показать, что методами теории гильбертовых пространств понятия замкнутости и полноты равносильны. 2 Например, система экспонент en(x) = einx (n ∈ Z) является полной и замкнутой системой в унитарном пространстве непрерывных периодических с периодом 2π функций. 2