Следует ли из полноты замкнутость ортонормированной системы?

Да, в произвольном евклидовом пространстве из замкнутости ортонормированной системы вытекает её полнота. scask.ru

Если вектор ортогонален всем векторам замкнутой системы, то в силу уравнения замкнутости норма такого вектора равна нулю, а следовательно, и сам вектор равен нулю. eqworld.ipmnet.ru

Из полноты ортонормированной системы в произвольном евклидовом пространстве, вообще говоря, не вытекает её замкнутость. scask.ru

Однако для гильбертовых пространств полнота ортонормированной системы эквивалентна её замкнутости. scask.ru

Также можно показать, что методами теории гильбертовых пространств понятия замкнутости и полноты равносильны. eqworld.ipmnet.ru Например, система экспонент en(x) = einx (n ∈ Z) является полной и замкнутой системой в унитарном пространстве непрерывных периодических с периодом 2π функций. eqworld.ipmnet.ru