Возможно, имелся в виду корень -бег-/-беж-, который имеет общее лексическое значение «быстрое передвижение». 4
Есть предположение, что изначально этот корень состоял из двух осмысленных слогов: БЕ- «движение» и ГА-/ЖА- «ускорение». 1
Однако в современном русском языке значение корня стало более абстрактным и может быть связано с избежанием, уходом от чего-либо. 5