В слове «письменный» две буквы «н» пишутся, потому что это прилагательное, образованное от существительного «письмо» с помощью суффикса -енн. 13
Согласно правилу, если прилагательное образовано от существительного, то в суффиксах -енн/-онн необходимо прописывать удвоенное «н». 1