Почему ортонормированные системы считаются наиболее полезными в математике и физике?

Ортонормированные системы считаются полезными в математике и физике, потому что они обладают следующими свойствами:

• Единственность разложения в ряд. lib.herzen.spb.ru Если функция может быть разложена в ряд по ортонормированной системе, то это разложение единственно. lib.herzen.spb.ru
• Эквивалентность понятий замкнутости и базисности. lib.herzen.spb.ru Для ортонормированных систем эти понятия эквивалентны: замкнутость связана с рассмотрением конечных линейных комбинаций элементов системы, а базисность — с разложением в ряд, то есть с представлением в виде бесконечной суммы. lib.herzen.spb.ru
• Возможность легко вычислять проекции. math.stackexchange.com С помощью ортонормированного базиса это можно сделать мгновенно без каких-либо внутренних произведений: проекции — это просто коэффициенты соответствующих базисных компонентов. math.stackexchange.com