Какие существуют доказательства выпуклости геометрических фигур?

Некоторые доказательства выпуклости геометрических фигур:

• Доказательство по «школьному» определению. otvet.mail.ru Если продлить любую сторону многоугольника до прямой, то весь многоугольник целиком окажется в одной из полуплоскостей, на которые эта прямая поделила плоскость. otvet.mail.ru
• Доказательство по «взрослому» определению. otvet.mail.ru Фигура называется выпуклой, если вместе с любыми двумя точками, принадлежащими фигуре, все точки отрезка, соединяющего эти точки, также принадлежат фигуре. licey-36.ru
• Доказательство через внутренние углы. licey-36.ru math.stackexchange.com Многоугольник выпуклый, если все его внутренние углы меньше 180°. licey-36.ru math.stackexchange.com
• Доказательство через диагонали. licey-36.ru licey-14.ru Многоугольник выпуклый, если все точки его диагоналей принадлежат ему. licey-36.ru licey-14.ru
• Доказательство через прямые. licey-36.ru Если всякая прямая, проходящая через любую внутреннюю точку ограниченной фигуры, пересекает её границу в двух точках, то фигура выпукла. licey-36.ru licey-14.ru