Решение задачи: 1

1. Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. 12 Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. 12 Поэтому нулей среди цифр нет. 1
2. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1, и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. 12 Чтобы произведение было не меньше трёх, хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. 1
3. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр: 1

• Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). 12 Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию. 1
• Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, …). 12 Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию. 1
• Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. 13 Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. 13 Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым. 1

Ответ: 3211. 1