Момент и миг в современном русском языке отличаются по значению:

• Момент может обозначать как кратчайший промежуток времени, так и этап, период, пункт в развитии событий. 4 Например, можно говорить о «ключевом моменте» в истории, о «переломном моменте» в жизни человека, о «важном моменте» в развитии проекта. 4
• Миг — это очень короткий промежуток времени, мгновение. 23 Например, «В мгновение ока он исчез» или «Миг счастья — и всё кончено». 4

Таким образом, выбор между этими синонимами зависит от того, какой аспект значения слова «момент» нужно подчеркнуть в конкретном контексте.