Да, подтверждение о получении квалификационной категории нужно вносить в трудовую книжку. 13
Это предусмотрено пунктом 10 Порядка ведения и хранения трудовых книжек, утверждённого приказом Минтруда России от 19.05.2021 №320н. 2
Запись делают в разделе «Сведения о работе»: 1
Запись вносят на основании соответствующего приказа (распоряжения) или иного решения работодателя не позднее 5 рабочих дней. 2