Чем отличается перевод слова 'city' в различных контекстах?

Перевод слова «city» в различных контекстах отличается:

• Большой, крупный город. www.study.ru Например: «We spent three days in New York exploring this beautiful city» (Мы провели три дня в Нью-Йорке, исследуя этот красивый город). www.study.ru
• Деловой центр Лондона. www.study.ru Написание слова «city» с заглавной буквы и употребление его с определённым артиклем указывает на деловой центр Лондона, в котором находятся известные финансовые организации и офисы крупных компаний — the City (сокращённый вариант the City of London). www.study.ru
• Городской совет или городская администрация. online.englishformula.ru Словом city (в США и Канаде) или city council (в Англии) называют городской совет или городскую администрацию, то есть орган исполнительной власти в городе. online.englishformula.ru