«Будем» — форма будущего времени первого лица множественного числа изъявительного наклонения глагола «быть». 1

В русском языке допустимы оба слова, правильный вариант зависит от контекста: 4

• «Будем» — пишется через «е», если это форма глагола первого спряжения «быть». 4 Пример: «Мы будем лучшими учениками в школе». 4
• «Будим» — пишется через «и», если это форма глагола «будить». 4 Пример: «Мы будим его уже который раз, но он не хочет просыпаться». 4

Также в просторечном употреблении «будем» может использоваться в значении связки настоящего времени: «А вы кто же будете?». 3