В чем разница между нотариальной и адвокатской конторой?

Возможно, имелись в виду различия между нотариатской и адвокатской деятельностью, а не между нотариальными и адвокатскими конторами. Некоторые отличия:

• Статус: нотариус — государственный служащий, а адвокат — независимый специалист. otvet.mail.ru
• Функции: нотариус занимается заверением документов и составлением юридически значимых бумаг, а адвокат оказывает юридическую помощь по различным вопросам, включая представительство в суде. otvet.mail.ru
• Сфера деятельности: нотариус работает в основном с документами, а адвокат — с правами и интересами клиентов. otvet.mail.ru
• Характер взаимодействия с клиентами: деятельность адвоката предполагает заключение договора поручения с клиентом, что носит частноправовой характер. spravochnick.ru cyberleninka.ru Деятельность нотариуса отличается публично-правовым характером, он обеспечивает равные юридические условия для всех лиц, обратившихся за совершением нотариального действия. spravochnick.ru cyberleninka.ru
• Количество должностей: число нотариусов строго ограничивается со стороны государственных органов юстиции и нотариальных палат, в то время как адвокатам предоставлено право самостоятельно регулировать свою численность. spravochnick.ru
• Доступ в профессию: для получения статуса адвоката предусмотрен один квалификационный экзамен из двух частей, в нотариате установлен трёхступенчатый доступ в профессию, включающий стажировку, квалификационный экзамен и конкурсное назначение на должность. fparf.ru
• Юрисдикция: для адвокатуры в большей степени характерна вовлечённость в судебное производство по гражданским, уголовным или административным делам, а для нотариата — деятельность в рамках бесспорной юрисдикции. spravochnick.ru