Каковы основные функции и полномочия межрайонного суда в России?

Возможно, имелся в виду районный суд, так как в некоторых регионах аналогами районных судов выступают межрайонные. suvorov.legal

Некоторые функции районного суда в России:

• Рассмотрение дел в первой инстанции. ru.wikipedia.org suvorov.legal К компетенции суда относятся, например, гражданские дела, связанные с семейными, трудовыми, жилищными, наследственными, имущественными и неимущественными правоотношениями, дела о защите прав потребителей и другие. suvorov.legal
• Рассмотрение уголовных дел. suvorov.legal Суд рассматривает дела о преступлениях средней тяжести, тяжких и особо тяжких (за исключением дел, подсудных областным, краевым и Верховному Суду РФ). suvorov.legal Также суд рассматривает жалобы на действия следственных органов и избирает меры пресечения. suvorov.legal
• Рассмотрение административных дел. suvorov.legal К компетенции суда относятся дела об оспаривании нормативных и ненормативных правовых актов, споры о признании незаконными действий должностных лиц, административные дела, связанные с избирательным процессом, дела по жалобам на действия органов государственной власти и органов местного самоуправления. suvorov.legal
• Проверка законности решений мировых судей. ru.wikipedia.org suvorov.legal Решения районного суда пересматриваются в апелляционном порядке вышестоящими судами, но также он проверяет законность решений мировых судей. suvorov.legal
• Судебный контроль за деятельностью органов дознания, следствия и исполнения наказаний. suvorov.legal

Полномочия судей районных судов при отправлении ими правосудия конкретизированы в ГПК РФ, УПК РФ, КоАП РФ и других нормативных актах. ru.wikipedia.org