Какие права и обязанности имеет спикер парламента в России?

Возможно, имелись в виду полномочия спикеров разных палат российского парламента.

Для председателя Совета Федерации они установлены регламентом верхней палаты. tass.ru Некоторые права и обязанности:

• созывать и вести заседания палаты; tass.ru
• подписывать постановления Совета Федерации; tass.ru
• организовывать работу совета палаты; tass.ru
• с согласия совета назначать на должность и освобождать от неё руководителя аппарата Совфеда; tass.ru
• координировать работу сенатских комитетов, организацию парламентских слушаний и иных мероприятий; tass.ru
• представлять палату во взаимоотношениях с федеральными и местными органами государственной власти, общественными объединениями, парламентами иностранных государств и другими; tass.ru
• направлять президенту для подписания и официального опубликования одобренные Советом Федерации законы Российской Федерации; tass.ru
• направлять в Госдуму РФ отклонённые Совфедом проекты законов; tass.ru
• предоставлять Общественной палате по её запросу документы для проведения экспертизы законопроектов; tass.ru
• публиковать уведомления о принятых законах и поправках в Конституцию РФ и другие. tass.ru

Для председателя Государственной Думы полномочия и обязанности изложены в статье 11 Регламента Государственной Думы. en.wikipedia.org aif.ru Некоторые из них:

• председательствовать на заседаниях палаты; en.wikipedia.org
• нести ответственность за внутренний распорядок палаты в соответствии с Конституцией Российской Федерации и полномочиями, возложенными на неё Регламентом Государственной Думы; en.wikipedia.org
• организовывать работу Совета Государственной Думы; en.wikipedia.org
• осуществлять общее руководство деятельностью аппарата Государственной Думы; en.wikipedia.org
• назначать и освобождать от должности руководителя аппарата Государственной Думы; en.wikipedia.org
• утверждать бюджетную смету Государственной Думы на очередной финансовый год; en.wikipedia.org
• представлять палату в отношениях с Президентом Российской Федерации, Советом Федерации, Правительством, субъектами Федерации, Конституционным Судом, Верховным Судом, Генеральной прокуратурой, Центральной избирательной комиссией, Центральным банком, Уполномоченным по правам человека, счётной палатой, общественными объединениями, другими организациями и должностными лицами, а также с парламентами иностранных государств, высшими должностными лицами иностранных государств и международными организациями; en.wikipedia.org
• участвовать в примирительных процедурах, используемых Президентом для разрешения разногласий между органами государственной власти Российской Федерации и органами государственной власти субъектов Российской Федерации, а также между органами государственной власти субъектов Российской Федерации. en.wikipedia.org