Да, суд должен уведомить о вступлении в законную силу постановления о прекращении уголовного преследования. 1

Согласно закону, определение или постановление суда первой инстанции вступает в законную силу и обращается к исполнению по истечении срока его обжалования в апелляционном порядке (10 суток) либо в день вынесения судом апелляционной инстанции определения или постановления (если решение вынесла апелляция или была подана апелляция). 1

О вступлении в силу постановления сторонам высылают копию постановления с печатью и штампом суда. 1

Также, согласно статье 214.1 Уголовно-процессуального кодекса РФ, копия постановления судьи направляется лицу, возбудившему ходатайство, прокурору, а также лицу, в отношении которого прекращено уголовное дело или уголовное преследование, потерпевшему. 4