Одна из задач по математике на тему «Зацикливание и периодичность»: 2

Первое число последовательности — натуральное число, меньшее 10 000. 2 Каждое следующее число в последовательности получается из предыдущего так: число возводится в квадрат и от него оставляется число, образованное последними четырьмя цифрами. 2 Докажите, что последовательность периодическая (возможно, с предпериодом), и сделайте какую-нибудь оценку длины периода. 2

Ещё одна задача на эту тему: 3

В тридесятом королевстве у каждого замка и каждой развилки сходятся по три дороги. 3 Рыцарь выехал из своего замка и по очереди поворачивает то направо, то налево. 3 Докажите, что рано или поздно он приедет к своему замку. 3