What are the methods for solving systems of equations Ax = b?

Некоторые методы решения систем уравнений вида Ax = b:

• Метод подстановки. guimc.bmstu.ru В одном из уравнений системы (более простом) выражают одну переменную через другие. guimc.bmstu.ru Полученное выражение подставляют в остальные уравнения вместо этой переменной. guimc.bmstu.ru Затем выражают и подставляют другую переменную и так далее, пока не получится уравнение с одной переменной. guimc.bmstu.ru После решения этого уравнения и нахождения значения одной из переменных последовательно возвращаются к ранее выраженным переменным, подставляя найденные значения. guimc.bmstu.ru
• Графический метод. guimc.bmstu.ru Его можно применять только для систем линейных уравнений, графиками которых являются прямые. guimc.bmstu.ru Если хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т. д.), то графический метод не рекомендуется. guimc.bmstu.ru
• Метод почленного сложения. guimc.bmstu.ru Складывая либо вычитая два уравнения системы (их предварительно можно и часто нужно умножать на некоторый коэффициент), получают новое уравнение, которым заменяют одно из уравнений первоначальной системы. guimc.bmstu.ru Такая процедура имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся. guimc.bmstu.ru
• Метод замены переменных. guimc.bmstu.ru Суть метода состоит в замене какого-либо выражения (или выражений) в системе на новую переменную (или несколько переменных) так, чтобы вновь полученные уравнения стали более простыми. guimc.bmstu.ru
• Прямые методы. portal.tpu.ru Используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. portal.tpu.ru Дают решение после выполнения заранее известного числа операций. portal.tpu.ru
• Итерационные методы. portal.tpu.ru Это методы последовательных приближений. portal.tpu.ru В них необходимо задать некоторое приближённое решение — начальное приближение. portal.tpu.ru После этого с помощью некоторого алгоритма проводят один цикл вычислений, называемый итерацией. portal.tpu.ru В результате итерации находят новое приближение. portal.tpu.ru Итерации проводят до получения решения с требуемой точностью. portal.tpu.ru